断点回归 RDD：Sharp vs Fuzzy、带宽选择与稳健性

1）RDD 是什么？什么时候用？

RDD 利用阈值规则（如考试分数≥60 才通过、排污强度≥K 纳入监管）来识别因果效应。

核心思路：阈值附近、几乎相同的个体在处理状态上仅因阈值规则而不同 → 局部随机。

识别对象：局部平均处理效应（LATE），仅在断点邻域内有效。

两类设计

• Sharp RDD：阈值严格决定处理（$D_i=1[r_i\ge c]$Di=1[ri≥c]）。

• Fuzzy RDD：阈值只提高被处理概率（不完全遵从）→ 用阈值作工具变量。

2）基本设定与公式

运行变量（forcing/score）：$r_i$ri；断点：$c$c；处理：$D_i$Di；结果：$Y_i$Yi。

Sharp RDD：
τSRD=r↓climE[Y∣r]−r↑climE[Y∣r]

Fuzzy RDD（局部 Wald 比率）：
τFRD=limr↓cE[D∣r]−limr↑cE[D∣r]limr↓cE[Y∣r]−limr↑cE[Y∣r]

解释口径（答辩）：我们关注阈值附近“几乎相同”的样本；在该邻域内，处理被视作近似随机分配。

3）估计策略：局部线性、核函数与多项式

局部线性回归（Local Linear）：RD 标配，边界表现更稳健。

核函数：**三角核（Triangular）**是主流，权重随距断点增大而线性衰减。

多项式阶数：1 阶（线性）为默认；2 阶仅作稳健性。避免全样本高阶多项式（易过拟合）。

可视化：分箱散点 + 两侧拟合线（相同带宽、相同阶数）。

4）带宽选择（Bandwidth）与不确定性

MSE-Optimal 带宽：常用 Imbens–Kalyanaraman (IK)、CCT（Calonico–Cattaneo–Titiunik）。

推断：使用 Robust Bias-Corrected (RBC) 置信区间（CCT）→ 有偏情形下更可靠。

实践建议：报告主带宽 + ±50% 灵敏度分析；展示不同带宽、不同核函数的稳健性。

5）识别有效性与稳健性清单

5.1 McCrary 密度检验（Manipulation）

检查断点处运行变量密度是否“跳变”；若显著 → 可能有人为操控 → 识别受威胁。

5.2 协变量平衡（Covariate Balance）

检验断点两侧在协变量均值上是否连续，无“结构性跳跃”。

5.3 Donut RDD（挖掉近邻）

去掉断点附近一小段（如 ±1 分），降低“刻意卡线”的影响。

5.4 假阈值/安慰剂检验（Placebo Cutoffs）

在不存在政策的“伪阈值”处重复估计，应当不显著。

5.5 多阈值 / 双断点

若规则存在上下双阈值或多级门槛，需分别估计并讨论外推风险。

6）Fuzzy RDD 的 2SLS 实施

• 第一阶段：$D_i = \alpha + \pi \cdot 1[r_i\ge c] + f(r_i-c)+u_i$Di=α+π⋅1[ri≥c]+f(ri−c)+ui

• 第二阶段：$Y_i = \beta + \tau \cdot \hat D_i + g(r_i-c)+\varepsilon_i$Yi=β+τ⋅D^i+g(ri−c)+εi

• 其中$f(\cdot), g(\cdot)$f(⋅),g(⋅) 为两侧的局部多项式（通常线性）。聚类或稳健标准误按断点邻域的独立单元设置。

7）作图与报告（论文规范）

RD Plot：等宽分箱（或等量分箱）散点 + 两侧局部线性拟合线；标注样本量与带宽。

主结果表：报告估计量、RBC 标准误/CI、带宽、核函数、阶数。

稳健性表：带宽±50%、核函数更换、协变量控制、有/无加权、donut 版本、placebo 阈值。

文字：强调“局部效应”“非外推”，在讨论处说明政策含义与适用范围。

8）Stata / Python 代码速用

8.1 Stata（rdrobust / rddensity）

* 安装（若未安装）

* ssc install rdrobust, replace

* ssc install rddensity, replace

* Sharp RDD 主估计（RBC CI，三角核，自动带宽）

rdrobust y r, c(0) kernel(triangular)

* Fuzzy RDD：指定 z 为截断工具（常为 r>=0）

gen z = r>=0

rdrobust y r, c(0) fuzzy(z)

* McCrary 密度检验

rddensity r, c(0)

rddensity r, c(0) plot

* 协变量平衡（以 x1 为例）

rdrobust x1 r, c(0)

* 作图（散点 + 局部线性）

rdplot y r, c(0) binselect(esmv) kernel(triangular) ci(95)

8.2 Python（econml/rdd/rdrobust风格实现思路）

import pandas as pd

import numpy as np

from sklearn.linear_model import LinearRegression

# r: 运行变量；c=0；y: 结果

df = df.dropna(subset=["y","r"]).copy()

h = np.percentile(np.abs(df["r"]), 30)   # 简单带宽示例（请用 CCT/IK 方法替换）

sub = df[np.abs(df["r"])<=h].copy()

sub["treat"] = (sub["r"]>=0).astype(int)

sub["rc"] = sub["r"]          # 左右各一条线的思路：与 treat 交互

X = np.c_[sub["treat"], sub["rc"], sub["treat"]*sub["rc"]]

m = LinearRegression().fit(X, sub["y"])

# 处理效应近似=截距在断点左右的差（更严谨应用 rdrobust 式加权与偏误校正）

注：正式论文请使用偏误校正与稳健标准误的成熟实现（如 rdrobust 家族、或社区实现的 CCT 推断）

9）常见坑位与避雷

用全样本高阶多项式 → 容易外推与过拟合；应做局部估计、核加权。

只报点估计不报带宽与核函数 → 不可复现；需写明设定并做灵敏度。

忽略操控可能（不做 McCrary） → 识别假设站不住。

协变量不连续 → 说明断点两侧人群不一致；需换题或谨慎解读。

把 RDD 当全局因果 → 仅对阈值邻域有效，注意政策解读的边界。

10）写作与答辩话术（可直接套用）

为何选 RDD：存在明确阈值规则，阈值附近个体可视作局部随机。

带宽怎么定：主文用 CCT MSE-optimal 带宽 + RBC 置信区间，并做 ±50% 稳健性。

识别是否可信：通过 McCrary、协变量平衡、donut、placebo 阈值等多检。

效应外推吗：仅在断点邻域有效；政策含义限于临界人群。